Bilangan Floating Point

Bilangan Floating Point

Floating point adalah sebuah bilangan yang digunakan untuk menggambarkan sebuah nilai yang sangat besar atau sangat kecil. Bilangan tersebut dapat diwujudkan dalam notasi ilmiah, yaitu berupa angka pecahan desimal  dikalikan dengan angka 10 pangkat bilangan tertentu. Bilangan seperti ini dapat direpresentasikan menjadi dua bagian, yaitu bagianmantisa dan bagian eksponen (E). Bagian mantisa menentukan digit dalam angka tersebut, sedangkan eksponen menentukan nilai berapa besar pangkat pada bagian mantisa tersebut (jarak dari titik posisi desimal). Contoh :

Misalkan terdapat sebuah bilangan 8934000000 maka bilangan ini dapat dituliskan dalam bentuk bilangan floating point. 8934E6 yang secara matematis artinya : 8934 x 10⁶

Bagian mantisanya adalah 8934 dan bagian eksponennya adalah E6

Cara penulisan angka seperti ini merupakan cara singkat untuk menuliskan angka yang nilainya sangat besar maupun sangat kecil atau disebut floating point number. Bilangan seperti ini banyak digunakan dalam pemrosesan grafik dan kerja ilmiah. Proses aritmatika bilangan floating point memang lebih rumit dan prosesor membutuhkan waktu yang lebih lama untuk mengerjakannya, karena mungkin akan menggunakan beberapa siklus detak (clock cycle) prosesor.

Oleh karena itu beberapa jenis komputer menggunakan prosesor sendiri untuk menangani bilangan floating point. Prosesor yang khusus menangani bilangan floating point disebutFloating Pont Unit (FPU) atau disebut juga dengan nama math co-processor.

Notasi floating-point dapat digunakan untuk merepresentasikan baik bilangan yang sangat besar (|N| » 0), bilangan yang sangat kecil atau dekat dengan nol (|N| « 1), maupun bilangan yang terdiri dari keduanya. Floating-point membuat proses operasi aritmatika menjadi relatif lebih mudah. Floating-point merepresentasi bilangan nyata dalam bentuk persamaan:

N = m × R^e

Dimana m merupakan bagian bilangan pecahan yang biasa disebut significand atau mantissa e adalah bagian bilangan bulat yang biasa disebut exponent R merupakan basis dari suatu sistem bilangan
Bagian bilangan pecahan m merupakan p-digit bilangan dengan bentuk (±d.dddd … dd), dimana semua digit d adalah bilangan bulat antara 0 dan R-1. Jika digit terdepan (sebelak kiri) dari m bukan angka nol, maka bilangan ini dapat dikatakan sebagai normalized.

Sebagai contoh, bilangan desimal 0,0003754 dan 1234 dapat direpresentasi dalam notasi floating point sebagai 3,754 × 10⁻⁴ dan 1,234 × 10³. Bilangan heksadesimal 257,ABF dapat direpresentasi sebagai 2,57ABF × 16². Dalam kasus bilangan biner normalized, angka terdepan (MSB) selalu ‘1’ dan dengan demikian tidak perlu disimpan secara eksplisit. Bilangan biner campuran 1100,10112 dapar direpresentasi dalam notasi floating point sebagai 0,1101011 × 2³ = 0,1101011e+0011. Disini, 0,1101011 adalah mantissa dan e+0011 menunjukan bahwa eksponennya adalah +3. Contoh lainnya, 0,0001112 dapat ditulis sebagai 0,111e-0011, dengan 0,111 adalah mantissa dan e-0011 menunjukkan eksponen dari -3. Jika kita ingin merepresentasikan mantissa menggunakan delapan bit, maka angka 0,1101011 dan 0,111 dapat ditulis seperti 0,11010110 dan 0,11100000.

Rentang Angka dan Presisi

Rentang angka dapat direpresentasikan dalam mesin apapun tergantung dari jumlah bit dalam eksponen, sedangkan akurasi pecahan atau presisi pada akhirnya ditentukan oleh jumlah bit dalam mantissa. Semakin tinggi jumlah bit dalam eksponen, maka semakin besar rentang angka yang dapat direpresentasikan. Misalnya, rentang angka yang mungkin pada format bilangan biner floating-point yang menggunakan 6-bits untuk merepresentasi besarnya eksponen adalah 2^-64 sampai 2⁺⁶⁴, dimana nilai ini setara dengan rentang 10^-19 sampai 10⁺¹⁹.

Presisi ditentukan oleh jumlah bit yang digunakan untuk merepresentasi mantissa. Hal ini biasanya direpresentasikan sebagai angka desimal presisi. Konsep presisi sebagaimana didefinisikan terhadap notasi floating-point dapat dijelaskan secara sederhana sebagai berikut. Jika mantissa disimpan dalam jumlah n bit, maka itu dapat merepresentasi sebuah bilangan desimal antara 0 dan 2ⁿ-1 seperti mantissa yang disimpan sebagai bilangan bulat tak-bertanda (unsigned). Jika M adalah bilangan terbesar seperti 10^M-1 kurang dari atau sama dengan 2ⁿ-1, maka M adalah presisi yang dinyatakan sebagai angka desimal presisi. Misalnya, jika mantissa dinyatakan dalam 20 bit, maka angka desima presisi dapat ditemukan sekitar 6, seperti 2²⁰-1 sama dengan 1 048 575 dimana sedikit lebih kecil dari 10⁶-1.

Format Bilangan Floating-Point
Format bilangan floating-point biner telah distandarkan oleh IEEE 754-2008 (atau ISO/IEC/IEEE 60559:2011), yaitu meliputi format 16-bit (half), 32-bit (single-precision), 64-bit (double-precision), 80-bit (double-extended) dan 128-bit (quad-precision). Pada artikel ini hanya akan dibahas tentang format dasar, yaitu 32-bit dan 64-bit.

Bilangan Floating Point

Floating point adalah sebuah bilangan yang digunakan untuk menggambarkan sebuah nilai yang sangat besar atau sangat kecil. Bilangan tersebut dapat diwujudkan dalam notasi ilmiah, yaitu berupa angka pecahan desimal  dikalikan dengan angka 10 pangkat bilangan tertentu. Bilangan seperti ini dapat direpresentasikan menjadi dua bagian, yaitu bagianmantisa dan bagian eksponen (E). Bagian mantisa menentukan digit dalam angka tersebut, sedangkan eksponen menentukan nilai berapa besar pangkat pada bagian mantisa tersebut (jarak dari titik posisi desimal). Contoh :

Misalkan terdapat sebuah bilangan 8934000000 maka bilangan ini dapat dituliskan dalam bentuk bilangan floating point. 8934E6 yang secara matematis artinya : 8934 x 10⁶

Bagian mantisanya adalah 8934 dan bagian eksponennya adalah E6

Cara penulisan angka seperti ini merupakan cara singkat untuk menuliskan angka yang nilainya sangat besar maupun sangat kecil atau disebut floating point number. Bilangan seperti ini banyak digunakan dalam pemrosesan grafik dan kerja ilmiah. Proses aritmatika bilangan floating point memang lebih rumit dan prosesor membutuhkan waktu yang lebih lama untuk mengerjakannya, karena mungkin akan menggunakan beberapa siklus detak (clock cycle) prosesor.

Oleh karena itu beberapa jenis komputer menggunakan prosesor sendiri untuk menangani bilangan floating point. Prosesor yang khusus menangani bilangan floating point disebutFloating Pont Unit (FPU) atau disebut juga dengan nama math co-processor.

Notasi floating-point dapat digunakan untuk merepresentasikan baik bilangan yang sangat besar (|N| » 0), bilangan yang sangat kecil atau dekat dengan nol (|N| « 1), maupun bilangan yang terdiri dari keduanya. Floating-point membuat proses operasi aritmatika menjadi relatif lebih mudah. Floating-point merepresentasi bilangan nyata dalam bentuk persamaan:

N = m × R^e

Dimana m merupakan bagian bilangan pecahan yang biasa disebut significand atau mantissa e adalah bagian bilangan bulat yang biasa disebut exponent R merupakan basis dari suatu sistem bilangan
Bagian bilangan pecahan m merupakan p-digit bilangan dengan bentuk (±d.dddd … dd), dimana semua digit d adalah bilangan bulat antara 0 dan R-1. Jika digit terdepan (sebelak kiri) dari m bukan angka nol, maka bilangan ini dapat dikatakan sebagai normalized.

Sebagai contoh, bilangan desimal 0,0003754 dan 1234 dapat direpresentasi dalam notasi floating point sebagai 3,754 × 10⁻⁴ dan 1,234 × 10³. Bilangan heksadesimal 257,ABF dapat direpresentasi sebagai 2,57ABF × 16². Dalam kasus bilangan biner normalized, angka terdepan (MSB) selalu ‘1’ dan dengan demikian tidak perlu disimpan secara eksplisit. Bilangan biner campuran 1100,10112 dapar direpresentasi dalam notasi floating point sebagai 0,1101011 × 2³ = 0,1101011e+0011. Disini, 0,1101011 adalah mantissa dan e+0011 menunjukan bahwa eksponennya adalah +3. Contoh lainnya, 0,0001112 dapat ditulis sebagai 0,111e-0011, dengan 0,111 adalah mantissa dan e-0011 menunjukkan eksponen dari -3. Jika kita ingin merepresentasikan mantissa menggunakan delapan bit, maka angka 0,1101011 dan 0,111 dapat ditulis seperti 0,11010110 dan 0,11100000.

Rentang Angka dan Presisi

Rentang angka dapat direpresentasikan dalam mesin apapun tergantung dari jumlah bit dalam eksponen, sedangkan akurasi pecahan atau presisi pada akhirnya ditentukan oleh jumlah bit dalam mantissa. Semakin tinggi jumlah bit dalam eksponen, maka semakin besar rentang angka yang dapat direpresentasikan. Misalnya, rentang angka yang mungkin pada format bilangan biner floating-point yang menggunakan 6-bits untuk merepresentasi besarnya eksponen adalah 2^-64 sampai 2⁺⁶⁴, dimana nilai ini setara dengan rentang 10^-19 sampai 10⁺¹⁹.

Presisi ditentukan oleh jumlah bit yang digunakan untuk merepresentasi mantissa. Hal ini biasanya direpresentasikan sebagai angka desimal presisi. Konsep presisi sebagaimana didefinisikan terhadap notasi floating-point dapat dijelaskan secara sederhana sebagai berikut. Jika mantissa disimpan dalam jumlah n bit, maka itu dapat merepresentasi sebuah bilangan desimal antara 0 dan 2ⁿ-1 seperti mantissa yang disimpan sebagai bilangan bulat tak-bertanda (unsigned). Jika M adalah bilangan terbesar seperti 10^M-1 kurang dari atau sama dengan 2ⁿ-1, maka M adalah presisi yang dinyatakan sebagai angka desimal presisi. Misalnya, jika mantissa dinyatakan dalam 20 bit, maka angka desima presisi dapat ditemukan sekitar 6, seperti 2²⁰-1 sama dengan 1 048 575 dimana sedikit lebih kecil dari 10⁶-1.

Format Bilangan Floating-Point
Format bilangan floating-point biner telah distandarkan oleh IEEE 754-2008 (atau ISO/IEC/IEEE 60559:2011), yaitu meliputi format 16-bit (half), 32-bit (single-precision), 64-bit (double-precision), 80-bit (double-extended) dan 128-bit (quad-precision). Pada artikel ini hanya akan dibahas tentang format dasar, yaitu 32-bit dan 64-bit.

1. Bilangan Floating-Point 32-bit (single-precision)

Bilangan floating-point 32-bit tersusun atas:
• 1 bit tanda (S)
• 8 bit eksponen (E)
• 23 bit mantisa (M)

Bit tanda (S) menyatakan bilangan positif jika S = 0 dan negatif jika S = 1. Field eksponen adalah basis 2. Nilai eksponen bisa negatif atau positif untuk menyatakan bilangan yang sangat kecil atau sangat besar. Format eksponen yang digunakan adalah excess-127. Nilai 127 ditambahkan dari nilai eksponen sebenarnya (Exp), yaitu Exp = E − 127. Dengan excess-127, nilai E akan selalu positif dengan jangkauan 0 sampai 255.

Nilai ekstrem adalah untuk E = 0 dan E = 255:
E = 0 menyatakan bilangan NOL (jika M = 0) dan subnormal (jika M ≠ 0)
E = 255 menyatakan bilangan TAK TERHINGGA (jika M = 0) dan NAN/not-a-number (jika M ≠ 0)
Nilai normal adalah 1 ≤ E ≤ 254 yang menunjukkan nilai eksponen sebenarnya dari -126 sampai 127. Contoh: E_min(1) = −126, E(50) = −77, dan E_max(254) = 127.

Tabel nilai eksponen di format floating-point 32-bit
Eksponen (E)	Mantissa = 0	Mantissa ≠ 0	Persamaan
0	0, -0	Subnormal	(−1)S × 0.bit signifikan × 2−126
1-254		Nilai ternormalisasi	(−1)S × 0.bit signifikan × 2E−127
255	∞	Bukan bilangan (NAN=not-a-number)

Saat nilai mantissa (M) dinormalisasi, most significant bit (MSB) selalu 1. Namun, bit MSB ini tidak perlu disertakan secara eksplisit di field mantisa (Tabel diatas). Nilai mantissa yang sebenarnya adalah 1.M, sehingga nilai bilangan floating-pointnya menjadi:

Di bilangan subnormal, nilai mantissa sebenarnya adalah 0.M, sehingga bilangan floating-pointnya menjadi:

Dengan mantissa 23 bit ini ditambah 1 bit implisit, total presisi dari representasi floating-point 32-bit ini adalah 24 bit atau sekitar 7 digit desimal (yaitu 24 × log₁₀(2) = 7,225). Dalam bahasa pemrograman, suatu bilangan single-precision ini dideklarasikan dengan tipe data float (C, C++, Java) atau single (Pascal, VB, MATLAB).

2. Bilangan Floating-Point 64-bit (double-precision)

Bilangan floating-point 64-bit tersusun atas:
• 1 bit tanda (S)
• 11 bit eksponen (E)
• 52 bit mantisa (M)

Seperti halnya dengan bilangan single-precission, bit tanda (S) menyatakan bilangan positif jika S = 0 dan negatif jika S = 1. Field eksponen adalah basis 2. Nilai eksponen bisa negatif atau positif untuk menyatakan bilangan yang sangat kecil atau sangat besar. Format eksponen yang digunakan adalah excess-1023. Nilai 1023 ditambahkan dari nilai eksponen sebenarnya (Exp), yaitu Exp = E − 1023. Dengan excess-1023, nilai E akan selalu positif dengan jangkauan 0 sampai 2047.

Nilai ekstrem adalah untuk E = 0 dan E = 2047:
E = 0 menyatakan bilangan NOL (jika M = 0) dan subnormal (jika M ≠ 0)
E = 255 menyatakan bilangan TAK TERHINGGA (jika M = 0) dan NAN/not-a-number (jika M ≠ 0)
Nilai normal adalah 1 ≤ E ≤ 2047 yang menunjukkan nilai eksponen sebenarnya dari -1022 sampai 1023. Contoh: E_min(1) = −1022, E(100) = −923, dan E_max(254) = 1023.

Tabel nilai eksponen di format floating-point 64-bit
Eksponen (E)	Mantissa = 0	Mantissa ≠ 0	Persamaan
0	0, -0	Subnormal	(−1)S × 0.bit signifikan × 2−1022
1-2046		Nilai ternormalisasi	(−1)S × 0.bit signifikan × 2E−1023
2047	∞	Bukan bilangan (NAN=not-a-number)

Nilai mantisa (M) dinormalisasi, yang berarti most significant bit (MSB) selalu 1. Bit MSB ini tidak perlu disertakan secara eksplisit di field mantisa. Nilai mantisa sebenarnya adalah 1.M, sehingga nilai bilangan floating-pointnya menjadi:

Dengan mantissa 52 bit ini ditambah 1 bit implisit, total presisi dari representasi floating-point 32-bit ini adalah 53 bit atau sekitar 16 digit desimal (yaitu 53 × log₁₀(2) = 15.955). Dalam pemrograman, suatu bilangan double-precision ini dideklarasikan dengan tipe data double (C, C++, Java).

sumber:

http://didik.blog.undip.ac.id/2012/06/01/bilangan-floating-point/

https://tugasnumpuk3.wordpress.com/2013/10/20/floating-point-arithmetic/

Perbedaan Windows 32 bit dan 64 bit

Apa saja sih perbedaan dari 32 bit dengan 64 bit?

Tentu saja lebih baik 64 bit. Kenapa? Penjelasan sederhananya karena 64 bit processor dapat mengolah data lebih dari 32 bit processor. Pada 64 bit processor kemampuan komputasi nilai lebih unggul termasuk memory address yang dimilikinya.

Kunci pembedanya adalah, pada processor 32 bit kemampuan pengolahan untuk berinteraksi dengan RAM terbatas sampai dengan 4GB dan kemampuannya akan lebih optimal ketika menggunakan RAM 1 sampai 2GB, sedangkan pada processor 64 bit kemampuan pengolahan untuk berinteraksi dengan RAM bisa lebih dari 4GB.

Dengan meningkatnya ketersediaan 64 bit processor dan besarnya kapasitas RAM yang ada saat ini, maka salah satu pengembang sistem operasi seperti Microsoft juga harus mengembangkan 64 bit operating sytem. Sehingga kemampuan hardware computer bisa dimaksimalkan. Sehingga sistem operasi 32 bit didesain untuk 32 bit processor (intel x86) begitu juga sistem operasi 64 bit didesain untuk 64 bit processor.

Perbedaan lainnya ada pada performanya. perbedaan basis sistem Windows 32 dan 64 bit sebenarnya ditentukan oleh kemampuan processornya. Tentu saja jika dibandingkan, teknologi processor 64 bit lebih baru dari pada 32 bit. Windows 32 bit dengan processor 32 bit juga, memiliki kemampuan berada di bawah 64 bit. Sehingga kombinasi Windows dan processor ini hanya cocok untuk melakukan pekerjaan ringan dan membuka aplikasi yang tidak terlalu berat. Sedangkan Windows dan processor 64 bit cocok digunakan untuk mengerjakan pekerjaan yang lebih berat seperti desain, video editing, dll.

Perbedaan selanjutnya ada pada kemampuan pemrosesan data, Perbedaan arsitektur pada Windows dan prosesor 32 dan 64 bit tentu akan sangat berpengaruh pada performa komputer itu sendiri. Angka 32 dan 64 sebenarnya mewakili jumlah data yang dapat diproses dalam satu kali putaran. 32 bit artinya ketika melakukan satu kali proses, data yang dimuat adalah sebesar 32 bit. Jadi dalam satu kali pemrosesan data, Windows, dan prosesor 64 bit lebih cepat dan maksimal.

Perbedaan yang terakhir ada pada kompatibilitas softwarenya, Perbedaan yang cukup berpengaruh juga adalah kompatibilitas software yang dapat digunakan. Windows 32 bit tidak akan bisa menjalankan software 64 bit. Sedangkan Windows 64 bit lebih leluasa karena dapat menjalankan software 32 maupun 64 bit.

Yang terakhir adalah kelebihan dan kekurangan dari masing-masing bit

Kelebihan Windows 32 bit :
Dapat menjalankan software dan aplikasi lawas dengan basis 16 bit.
Lebih kompatibel dengan driver yang lebih lama. Cocok untuk laptop atau komputer lawas.
Dapat bekerja dengan optimal meski hanya dengan RAM 2GB

Kekurangan Windows 32 bit :
Hanya sedikit software baru yang kompatibel
Tidak bisa menggunakan RAM lebih dari 4GB
Tidak bisa digunakan untuk software berat seperti After Effects

Kelebihan Windows 64 bit :
Lebih cepat dan efisien
Mampu membuat kinerja prosesor lebih optimal
Dapat menjalankan software 32 bit
Cocok untuk menjalankan software terbaru yang mengutamakan grafis

Kekurangan Windows 64 bit :
Tidak cocok untuk PC lawas

sumber:

https://medium.com/@gungunfebrianza/32-bit-vs-64-bit-apa-perbedaanya-3d6167c24f2c

https://jalantikus.com/tips/perbedaan-windows-32bit-dan-64bit/